CHÀO MỪNG CẢ LỚP
ĐẾN VỚI BUỔI HỌC
HÔM NAY!

KHỞI ĐỘNG
Trong một khu đất có dạng hình vuông, người ta dành một mảnh đất có
dạng hình chữ nhật ở góc khu đất để làm bể bơi (Hình 1). Biết diện tích
của bể bơi bằng
• Độ dài cạnh của
khu đất bằng bao
nhiêu mét?

CHƯƠNG I. PHƯƠNG TRÌNH VÀ
HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT

BÀI 1. PHƯƠNG TRÌNH QUY VỀ
PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT
MỘT ẨN

NỘI DUNG BÀI HỌC

I

II

Phương trình tích có dạng

Phương trình chứa ẩn
ở mẫu

I. PHƯƠNG TRÌNH TÍCH CÓ DẠNG

HĐ1
a) Cho hai số thực có tích . Có nhận xét gì về giá trị của
b) Cho phương trình
- Hãy giải mỗi phương trình bậc nhất sau:
- Chứng tỏ rằng nghiệm của phương trình và nghiệm của phương trình
đều là nghiệm của phương trình
- Giả sử , là nghiệm của phương trình . Giá trị có phải là nghiệm của
phương trình hoặc phương trình hay không?

Giải
a) Giá trị của hoặc giá trị của
b)

Thay vào phương trình ta được:

Giải

Vậy nghiệm của phương trình và nghiệm của phương trình đều là
nghiệm của phương trình .

Giải
Thay vào phương trình , ta có:

Suy ra hoặc
Vậy giá trị là nghiệm của phương trình vào .

Ghi nhớ
Để giải phương trình tích với và , ta có thể làm như sau:
• Bước 1. Giải hai phương trình bậc nhất: và
• Bước 2. Kết luận nghiệm: Lấy tất cả các nghiệm của
hai phương trình bậc nhất vừa giải được ở Bước 1.

Ví dụ 1: Giải phương trình:
Giải

Để giải phương trình đã cho, ta giải hai phương trình sau:

Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm và

Luyện tập 1

Giải phương trình:
Giải

Để giải phương trình đã cho, ta giải hai phương trình sau:

−5
2
V ậ y   ph ươ ng   tr ì nh  đã  cho  c ó  hai   nghi ệ m 𝑥=
  và 𝑥= .
4
3

Ví dụ 1: Giải các phương trình sau:

Giải
Ta có

Để giải phương trình trên, ta giải hai phương trình sau:

V ậ y   ph ươ ng   tr ì nh  đã  cho  c ó  hai   nghi ệ m   𝑥=10   v à 𝑥=

−4
.
3

Ví dụ 1: Giải các phương trình sau:

Giải
Ta có

Để giải phương trình trên, ta giải hai phương trình sau:

V ậ y  ph ươ ng   tr ì nh  đã cho  c ó hai  nghi ệm  𝑥=−3  v à 𝑥=6.

Luyện tập 2

Giải

Giải các phương trình:

hoặc
Vậy nghiệm của phương trình là
.

Luyện tập 2
Giải các phương trình:

Giải
b)

hoặc
Vậy phương trình có nghiệm là .

Ví dụ 3: Giải bài toán nêu trong phần mở đầu.
Giải
Gọi độ dài cạnh của khu đất có dạng hình vuông là với .
Khi đó, mảnh đất dạng hình chữ nhật để làm bể bơi có các kích thước
lần lượt là
Do đó, diện tích của mảnh đất đó là:
Vì vậy, ta có phương trình:

Giải
Giải phương trình:

hoặc
Do nên . Vậy độ dài cạnh của khu đất là

II. PHƯƠNG TRÌNH
CHỨA ẨN Ở MẪU

HĐ2
Tìm
điều kiện của để cả hai mẫu thức có trong phương trình (1) là khác 0.

Giải
Điều kiện của để cả hai mẫu thức có trong phương trình (1) là khác 0 là:
và
hay và .

Ghi nhớ
Trong phương trình chứa ẩn ở mẫu, điều kiện
của ẩn để tất cả các mẫu thức trong phương
trình đều khác 0 được gọi là điều kiện xác định
của phương trình.

Ví dụ 4: Tìm điều kiện xác định của mỗi phương trình sau:

𝑎¿

2 𝑥 +1
2
1
=5 𝑏 ¿
=1 +
𝑥−2
5 𝑥−3
𝑥+ 2

Giải
hay .

Luyện tập 3

Tìm điều kiện xác định của phương trình sau:

𝑥−8
1
=8+
𝑥−7
1− 𝑥
Giải

và hay và

HĐ3
Hãy
giải phương trình theo các bước sau:
a) Tìm điều kiện xác định của phương trình
b) Tìm mẫu thức chung, quy đồng mẫu thức các phân thức ở hai vế của
phương trình và khử mẫu.
c) Giải phương trình vừa tìm được.
d) Kiểm tra điều kiện xác định của phương trình đối với các giá trị của
ẩn vừa tìm được rồi kết luận.

Giải
a) Điều kiện xác định: và hay và .
b) Mẫu thức chung:

Khử mẫu ta có phương trình:

Giải
c) Giải phương trình:

Ghi nhớ
Để giải phương trình chứa ẩn ở mẫu, ta có thể làm như sau:
•

Bước 1. Tìm điều kiện xác định của phương trình.

•

Bước 2. Quy đồng mẫu thức hai vế của phương trình rồi khử mẫu.

•

Bước 3. Giải phương trình vừa tìm được.

•

Bước 4. Kết luận nghiệm: Trong các giá trị của ẩn tìm được ở
Bước 3, các giá trị thỏa mãn điều kiện xác định chính là các
nghiệm của phương trình đã cho.

𝑥 2 3 𝑥−1 5
4
3 4
V í d ụ 5:  Giả i  c á c  ph ươ ng  tr ì nh :𝑎¿
+
= ;𝑏¿
+ =
2−𝑥 3
3
𝑥 ( 𝑥− 1 ) 𝑥 𝑥−1
Giải

𝑎¿ Điều kiện xác định: 2−𝑥≠0 hay 𝑥≠2.
Ta thấy thỏa mãn điều kiện xác định
của phương trình.
Vậy phương trình đã cho có nghiệm

𝑥 2 3 𝑥−1 5
4
3 4
V í d ụ 5:  Giả i  c á c  ph ươ ng  tr ì nh :𝑎¿
+
= ;𝑏¿
+ =
2−𝑥 3
3
𝑥 ( 𝑥− 1 ) 𝑥 𝑥−1
Giải

𝑏¿ Điều kiện xác định: 𝑥≠0 và 𝑥≠1.
Ta thấy

không thỏa mãn điều kiện

xác định của phương trình.
Vậy phương trình đã cho vô nghiệm.

𝑥
1
2
Luyện tập 4 Giả i  ph ươ ng  tr ì nh 𝑥−2 + 𝑥−3 =
( 2− 𝑥 )( 𝑥−3 )
Giải

:

hoặc
(Không thỏa mãn điều kiện xác định)
Vậy phương trình đã cho có nghiệm .

Ví dụ 6: Hai bạn Phong và Khang cùng hẹn nhau đạp xe đến một địa điểm
cách vị trí bạn Phong 6 km và cách vị trí bạn Khang 7 km. Hai bạn cùng
xuất phát và đến địa điểm đã hẹn cùng một lúc. Tính tốc độ của mỗi bạn,
biết tốc độ của bạn Khang hơn tốc độ của bạn Phong là 2 km/h.
Giải
Gọi tốc độ của bạn Phong là
Khi đó, tốc độ của bạn Khang là

6
Th ờ i  gian  đ i  c ủ a  bạ n  Phong  là  (gi ờ). 
𝑥
7
Th ời  gian  đ i c ủ a  bạ n  Khang  là    (giờ). 
𝑥+2

(thoả mãn
Vậy tốc độ của bạn Phong là 12km/h, tốc độ của bạn Khang là 14km/h.

Luyện tập 5
Một đội công nhân làm đường nhận nhiệm vụ trải nhựa mặt đường. Ở
giai đoạn đầu, đội trải được mặt đường. Ở giai đoạn hai, đội công nhân
tăng năng suất thêm /ngày rồi hoàn thành công việc. Hỏi đội công nhân
đã hoàn thành công việc trong bao nhiêu ngày?
Biết năng suất lao động của đội là không
thay đổi ở mỗi giai đoạn và thời gian làm
việc của hai giai đoạn là như nhau.

Giải
Gọi năng suất của đội công nhân làm trong giai đoạn 1 là /ngày)
Năng suất của đội công nhân làm trong giai đoạn 2 là /ngày)

Vì thời gian làm việc ở hai giai đoạn là như nhau nên ta có phương trình:

(thoả mãn điều kiện)

Ví dụ 7: Biết nồng độ muối của nước biển là và khối lượng riêng của nước biển
là Từ nước biển như thế, người ta hoà thêm muối để được một dung dịch có
nồng độ muối là . Tính lượng muối cần hoà thêm.
Giải
Khối lượng của nước biển là:
Khối lượng muối trong nước biển là:
Gọi lượng muối cần hoà thêm vào nước biển như thế để được một dung dịch
có nồng độ muối là là Ta có phương trình:

(thoản mãn )
Vậy cần hoà thêm muối vào nước biển ban đầu để được một dung
dịch có nồng độ muối là

LUYỆN TẬP

TRÒ CHƠI BÓNG ĐÁ

Câu 1. Nghiệm của phương trình là:

ĐÚNG
SAI
RỒI
A.

C.

B.

D.

𝑥 −1
2𝑥
C â u  2.  Gi ả i   ph ươ ng   tr ì nh  
−
=0   l à:
𝑥 +1 𝑥 ( 𝑥 +1 )

ĐÚNG
SAI
RỒI

A .  𝑥= { 0 ;3 }

C.  𝑥=0

B .  𝑥=3
D .  𝑥=− 3

2

Câu 3. Nghiệm của  phương trình 𝑥 −𝑥−6=0 là:

ĐÚNG
SAI
RỒI

A .  𝑥=3
C. 𝑥=3 và 𝑥=−2

B . 𝑥=− 2
D.

Câu 4. Một đội xe theo kế hoạch chở hết 140 tấn hàng trong một số ngày quy định. Do mỗi
ngày đội đó chở vượt mức 5 tấn nên đội đó hoàn thành kế hoạch sớm hơn thời gian quy định 1
ngày và chở thêm được 10 tấn. Hỏi theo kế hoạch đội xe chở hàng hết bao nhiêu ngày?

ĐÚNG
SAI
RỒI

A . 4  ngà y
C. 8 ng à y

B. 11 ngà y
D . 7 ngà y

Câu 5. Một người đi xe máy từ A đến B với vận tốc 25 km/h. Lúc về người đó đi với vận
tốc 30 km/h nên thời gian về ít hơn thời gian đi là 20 phút. Tính quãng đường AB?

ĐÚNG
SAI
RỒI

A . 50  km

B . 60  km

C. 70  km

D . 80  km

Bài 1 (SGK – tr.11)
Giải

Giải các phương trình

𝑎¿ ( 9𝑥 −4 )( 2𝑥+5 )=0
𝑏¿ ( 1,3 𝑥+0,26 )( 0,2𝑥 −4 ) =0
𝑐¿2 𝑥 ( 𝑥+3 ) −5 ( 𝑥+3 ) =0
𝑑 ¿ 𝑥2 −4+ ( 𝑥+2 )( 2𝑥 −1 )=0

Ta giải hai phương trình sau:
 ;

Bài 1 (SGK – tr.11)
Giải các phương trình

𝑎¿ ( 9𝑥 −4 )( 2𝑥+5 )=0

Giải
Ta giải hai phương trình sau:

𝑏¿ ( 1,3 𝑥+0,26 )( 0,2𝑥 −4 ) =0
𝑐¿2 𝑥 ( 𝑥+3 ) −5 ( 𝑥+3 ) =0
𝑑 ¿ 𝑥2 −4+ ( 𝑥+2 )( 2𝑥 −1 )=0

Vậy phương trình có nghiệm là và .

Bài 1 (SGK – tr.11)
Giải các phương trình

Giải

𝑎¿ ( 9𝑥 −4 )( 2𝑥+5 )=0
𝑏¿ ( 1,3 𝑥+0,26 )( 0,2𝑥 −4 ) =0
𝑐¿2 𝑥 ( 𝑥+3 ) −5 ( 𝑥+3 ) =0
𝑑 ¿ 𝑥2 −4+ ( 𝑥+2 )( 2𝑥 −1 )=0

Ta giải hai phương trình sau:

Bài 1 (SGK – tr.11)
Giải các phương trình

Giải

𝑎¿ ( 9𝑥 −4 )( 2𝑥+5 )=0
𝑏¿ ( 1,3 𝑥+0,26 )( 0,2𝑥 −4 ) =0
𝑐¿2 𝑥 ( 𝑥+3 ) −5 ( 𝑥+3 ) =0
2

𝑑 ¿ 𝑥 −4+ ( 𝑥+2 )( 2𝑥 −1 )=0

hoặc .

Bài 2 (SGK – tr.11)

Giải

Giải các phương trình

𝑎¿

1
5
=
𝑥 3 ( 𝑥 +2 )

𝑏¿

𝑥
𝑥 −2
=
2 𝑥 − 1 2 𝑥 +5

𝑐¿

5𝑥
10
=7+
𝑥 −2
𝑥 −2

𝑥2− 6
3
𝑑¿
=𝑥 +
𝑥
2

Điều kiện xác định : và

(thỏa mãn điều kiện).

Bài 2 (SGK – tr.11)
Giải các phương trình

𝑎¿

1
5
=
𝑥 3 ( 𝑥 +2 )

𝑏¿

𝑥
𝑥 −2
=
2 𝑥 − 1 2 𝑥 +5

𝑐¿

5𝑥
10
=7+
𝑥 −2
𝑥 −2

𝑥2− 6
3
𝑑¿
=𝑥 +
𝑥
2

Giải